모스 이론

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1. 개요

모스 이론은 매끄러운 다양체 위에 정의된 실수 값을 갖는 매끄러운 함수, 즉 모스 함수의 임계점과 그 성질을 연구하는 수학 분야이다. 모스 함수는 모든 임계점에서 비퇴화 헤세 행렬을 가지는 함수로 정의되며, 이러한 함수들의 임계점 개수와 다양체의 위상수학적 불변량 사이의 관계를 밝힌다. 특히, 모스 부등식과 모스 세포 구조는 다양체의 호몰로지 연구에 강력한 도구를 제공한다. 모스-보트 이론은 모스 함수의 개념을 확장하여 임계점이 부분 다양체를 이루는 경우를 다루며, 보트 주기성 정리 증명 등에 응용된다.

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모스 이론
모스 이론
모스 이론은 미분 가능한 다양체의 위상수를 연구한다.
개요
분야	미분기하학, 미분위상수학
개발자	마스턴 모스
개발 시기	1925년 ~ 1930년대
주제
핵심 아이디어	다양체 위의 미분 가능한 함수의 임계점을 사용하여 다양체의 위상수를 연구한다.
관련 개념	모스 함수 모스 호몰로지 모스-보트 함수 CW 복합체 사슬 복합체 아벨 군 피팅 부등식 모스 부등식
응용 분야	매듭 이론 게이지 이론 끈 이론 일반 상대성 이론 기계 학습

2. 정의

$M$ 이 매끄러운 다양체이고, 그 위에 매끄러운 함수 $f\colon M\to\mathbb R$ 이 있다고 하자.

$f$ 의 '''임계점'''은 $f$ 의 기울기가 0인 점들이다. 이를

: $\operatorname{Crit}(f) = \{x\in M\colon \mathrm df = 0 \in\mathrm T^*_xM\} \subseteq M$

로 표기한다.

$\operatorname{Crit}(f)$ 에 속하는 $M$ 의 부분 다양체

: $\Sigma\subseteq \operatorname{Crit}(f) \subseteq M$

가 주어졌다고 하자. 접다발을 리만 계량을 사용하여 $\Sigma$ 위에서 접다발과 법다발로 분해할 수 있다.

: $\mathrm TM\restriction \Sigma = \mathrm T\Sigma \oplus \mathrm N_M\Sigma$

( $\Sigma = \{x\}$ 가 한원소 공간일 경우, $\mathrm T\Sigma = 0$ 이며 $\mathrm TM\restriction \Sigma = \mathrm N_M\Sigma$ 이다.)

$x\in \Sigma$ 및 그 근방의 국소 좌표계에 대하여, 헤세 행렬

: $(\mathcal H_xf)_{ij} = \partial_i \partial_j f$

을 정의할 수 있으며, 이를 $\mathrm N_M\Sigma$ 에 제한할 수 있다.

$f$ 의 $\Sigma$ 에 대한 '''모스-보트 지표'''( $\operatorname{ind}_f(\Sigma)$ )는 $\mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma$ 의 음의 고윳값의 수이다. 이는 사용한 국소 좌표계 및 $x\in \Sigma$ 의 선택 및 리만 계량에 의존하지 않는다. $\Sigma = \{x\}$ 인 경우, $\operatorname{ind}_f(\{x\})$ 는 헤세 행렬 $\mathcal H_xf$ 의 음의 고윳값의 수이며, 이를 $\operatorname{ind}_f(x)$ 라고 쓰고, $f$ 의 $x$ 에서의 '''모스 지표'''라고 한다.

미분다양체 $M$ 위의 실수 값을 갖는 매끄러운 함수 $f : M \to \R$ 에 대해, $f$ 의 미분이 사라지는 점들을 $f$ 의 임계점이라고 하며, $f$ 아래에서의 이들의 이미지를 임계값이라고 부른다. 임계점 $p$ 에서 2차 편미분 행렬 (헤세 행렬)이 비특이 행렬이면, $p$ 를 '''비퇴화 임계점''', 특이 행렬이면 '''퇴화 임계점'''이라고 부른다.

비퇴화 임계점 $p$ 의 '''지표'''는 $p$ 에서 $M$ 에 대한 접선 공간의 가장 큰 부분 공간의 차원이며, 이 부분 공간에서 헤세 행렬은 음의 정부호이다. 이는 지표가 $f$ 가 감소하는 방향의 수라는 직관적인 개념에 해당한다. 임계점의 퇴화 정도와 지표는 실베스터의 관성 법칙에 의해 증명된 바와 같이 사용된 국소 좌표계의 선택과는 무관하다.

2. 1. 모스 함수

매끄러운 다양체

M

위에 정의된 매끄러운 함수

f\colon M\to\mathbb R

가 모든 임계점에서 비퇴화 헤세 행렬을 가질 때,

f

를 '''모스 함수'''라고 한다.^[16] 즉, 임계점에서의 헤세 행렬의 고윳값이 모두 0이 아니다. 또는, 임계점의 집합이 0차원 부분 다양체인 모스-보트 함수로 정의할 수 있다.

산악 지형 표면

M

(더 일반적으로는 다양체)을 예로 들어 보자.

f

가 각 점의 고도를 나타내는 함수

M \to \mathbb{R}

이면,

\mathbb{R}

내 한 점의 역상은 등고선(더 일반적으로는 레벨 집합)이다. 등고선의 각 연결 요소는 점, 단순 폐곡선, 또는 이중점이 있는 폐곡선 중 하나이다. 등고선은 더 높은 차수(삼중점 등)의 점을 가질 수도 있지만, 이는 불안정하며 지형을 약간 변형하면 제거할 수 있다. 등고선에서 이중점은 안장점 또는 고개에서 발생하며, 주변 지형은 한 방향으로 위로 구부러지고 다른 방향으로 아래로 구부러진다.

이 지형에 물을 채운다고 상상해 보자. 물이 고도

a

에 도달하면 수중 표면은

M^a \,\stackrel{\text{def}}{=}\, f^{-1}(-\infty, a]

이며, 고도가

a

이하인 점이다. 물이 상승함에 따라 이 표면의 위상이 어떻게 변하는지 생각해 보자.

a

가

f

의 임계점의 높이를 지날 때를 제외하고는 변하지 않는다. 이때

f

의 기울기는

0

이다(더 일반적으로는 접선 공간 사이의 선형 맵으로 작용하는 야코비 행렬은 최대 랭크를 갖지 않는다). 즉, 물이 (1) 분지를 채우기 시작하거나, (2) 안장(고개)을 덮거나, (3) 봉우리를 잠수하는 경우를 제외하고는

M^a

의 위상은 변하지 않는다.

이러한 세 가지 유형의 임계점—분지, 고개, 봉우리 (즉, 극소, 안장, 극대)—에 대해 지수라고 하는 숫자를 연관시킨다. 즉,

f

가 점에서 감소하는 독립 방향의 수이다. 보다 정확하게는,

f

의 비퇴화 임계점

p

의 지수는

f

의 헤세 행렬이 음의 정부호인

p

에서

M

에 대한 접선 공간의 가장 큰 부분 공간의 차원이다. 분지, 고개, 봉우리의 지수는 각각

0, 1,

및

2

이다.

임계점을 비퇴화 상태로 만들어야 한다. 어떤 문제가 발생할 수 있는지 확인하기 위해

M = \R

으로 하고

f(x) = x^3

이라고 하자. 그러면

0

은

f

의 임계점이지만,

M^{a}

의 위상은

a

가

0

을 지날 때 변하지 않는다. 문제는 두 번째 도함수가

f''(0) = 0

이라는 것이다. 즉,

f

의 헤세 행렬이 사라지고 임계점이 퇴화한다. 이 상황은 불안정하며,

f

를

f(x) = x^3 +\epsilon x

로 약간 변형하면 퇴화 임계점이 제거되거나(

\epsilon>0

) 두 개의 비퇴화 임계점으로 분리된다(

\epsilon<0

).

미분다양체

M

위의 실수 값을 갖는 매끄러운 함수

f : M \to \R

에 대해,

f

의 미분이 사라지는 점들을

f

의 임계점이라고 부르며,

f

아래에서의 이들의 이미지를 임계값이라고 부른다. 임계점

p

에서 2차 편미분 행렬 (헤세 행렬)이 비특이 행렬이면,

p

를 '''비퇴화 임계점'''이라고 부른다. 헤세 행렬이 특이 행렬이면

p

는 '''퇴화 임계점'''이다.

\R

에서

\R

로의 함수

f(x)=a + b x+ c x^2+d x^3+\cdots

에 대해,

f

는

b = 0

일 때 원점에서 임계점을 가지며,

c \neq 0

일 때 비퇴화 (즉,

f

가

a + c x ^2 + \cdots

의 형태)이고,

c = 0

일 때 퇴화 (즉,

f

가

a + dx^3 + \cdots

의 형태)이다. 퇴화 임계점의 덜 자명한 예는 원숭이 안장의 원점이다.

비퇴화 임계점

p

의 '''지표'''는

p

에서

M

에 대한 접선 공간의 가장 큰 부분 공간의 차원이며, 이 부분 공간에서 헤세 행렬은 음의 정부호이다. 이는 지표가

f

가 감소하는 방향의 수라는 직관적인 개념에 해당한다. 임계점의 퇴화 정도와 지표는 실베스터의 관성 법칙에 의해 증명된 바와 같이 사용된 국소 좌표계의 선택과는 무관하다.

2. 2. 모스-보트 함수

매끄러운 함수

f\colon M\to\mathbb R

가 다음 조건들을 만족시킨다면,

f

를 '''모스-보트 함수'''(Morse-Bott函數, Morse–Bott function^영어)라고 한다.^[16]

$\operatorname{Crit}(f)$ 는 $M$ 의 부분 다양체들의 합집합이다. (각 연결 성분들은 서로 다른 차원을 가질 수 있으나, 이들은 맞닿을 수 없다.)
$\operatorname{Crit}(f)$ 의 임의의 연결 성분 $\Sigma$ 를 골랐을 때, 모든 $x\in \Sigma$ 에 대하여 제한된 헤세 행렬 $\mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma$ 는 비퇴화 쌍선형 형식이다. 이 경우, $\Sigma$ 의 '''모스-보트 지표'''(Morse-Bott指標, Morse–Bott index^영어) $\operatorname{ind}_f(\Sigma)$ 는 $\mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma$ 의 음의 고윳값의 수이다. (이는 $x\in\Sigma$ 에 의존하지 않는다.)

2. 3. 임계점 (수학)

매끄러운 함수

f\colon M\to\mathbb R

의 기울기가 0이 되는 점을

f

의 '''임계점'''이라고 한다.

미분다양체

M

위의 실수 값을 갖는 매끄러운 함수

f : M \to \R

에 대해,

f

의 미분이 사라지는 점들을

f

의 임계점이라고 하며,

f

아래에서의 이들의 이미지를 임계값이라고 부른다.^[2] 임계점

p

에서 2차 편미분 행렬 (헤세 행렬)이 비특이 행렬이면,

p

를 '''비퇴화 임계점'''이라고 부르고, 헤세 행렬이 특이 행렬이면

p

는 '''퇴화 임계점'''이라고 부른다.^[2]

\R

에서

\R

로의 함수

f(x)=a + b x+ c x^2+d x^3+\cdots

에 대해,

f

는

b = 0

일 때 원점에서 임계점을 가지며,

c \neq 0

일 때 비퇴화 (즉,

f

가

a + c x ^2 + \cdots

의 형태)이고,

c = 0

일 때 퇴화 (즉,

f

가

a + dx^3 + \cdots

의 형태)이다.^[2] 퇴화 임계점의 예시는 원숭이 안장의 원점이다.^[2]

비퇴화 임계점

p

의 '''지표'''는

p

에서

M

에 대한 접선 공간의 가장 큰 부분 공간의 차원이며, 이 부분 공간에서 헤세 행렬은 음의 정부호이다.^[2] 이는 지표가

f

가 감소하는 방향의 수라는 직관적인 개념에 해당한다.^[2] 임계점의 퇴화 정도와 지표는 실베스터의 관성 법칙에 의해 증명된 바와 같이 사용된 국소 좌표계의 선택과는 무관하다.^[2]

2. 4. 모스 지표

Morse index^영어는 헤세 행렬의 음의 고윳값의 개수이다. 모스-보트 함수의 경우, 임계 부분 다양체

\Sigma

의 모스-보트 지표는 제한된 헤세 행렬

\mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma

의 음의 고윳값의 개수이다.

f

의 임계점

x

에서의 모스 지표는,

x

및 그 근방의 국소 좌표계에 대하여 정의된 헤세 행렬

:

(\mathcal H_xf)_{ij} = \partial_i \partial_j f

에서 음의 고윳값의 수를 의미한다.^[16] 특히 임계점이 한원소 공간(

\Sigma =\{x\}

)일 경우, 모스 지표는 헤세 행렬

\mathcal H_xf

의 음의 고윳값의 수와 일치한다.

모스-보트 함수의 경우, 임계 부분 다양체

\Sigma

의 모스-보트 지표는, 접다발을 분해하여 얻어지는 제한된 헤세 행렬

\mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma

의 음의 고윳값의 개수를 의미한다.

이는 사용된 국소 좌표계,

x\in \Sigma

의 선택, 리만 계량에 의존하지 않는 불변량이다.

3. 기본 개념

모스 이론은 다양체의 위상수학적 성질을 연구하는 데 사용되는 도구이다. 다양체 위에 정의된 함수의 임계점을 분석하여 다양체의 구조를 파악한다.

예를 들어, 산악 지형의 표면을 다양체 $M$ 으로 생각하고, 각 점의 고도를 나타내는 함수 $f: M \to \mathbb{R}$ 를 생각할 수 있다. 이때 $f$ 의 역상은 등고선이 된다. 등고선의 각 연결 요소는 점, 단순 폐곡선, 또는 이중점이 있는 폐곡선 중 하나이다. 등고선에서 이중점은 안장점에서 발생한다.

이 지형에 물을 채우는 상황을 상상해 보자. 물이 고도 $a$ 에 도달하면 수중 표면은 $M^a = f^{-1}(-\infty, a]$ 로 표현되며, 이는 고도가 $a$ 이하인 점들의 집합이다. 물이 상승하면서 $a$ 가 $f$ 의 임계점 높이를 지날 때 $M^a$ 의 위상이 변한다. 임계점은 $f$ 의 기울기가 0인 점(또는 야코비 행렬이 최대 랭크를 갖지 않는 점)이다.

임계점에는 세 가지 유형이 있다.

분지 (극소점)
고개 (안장점)
봉우리 (극대점)

각 임계점에는 지수(index)라는 숫자를 연관시킬 수 있다. 지수는

f

가 감소하는 독립 방향의 수이다. 헤세 행렬을 이용해 정의하면, 비퇴화 임계점

p

의 지수는 헤세 행렬이 음의 정부호인

p

에서

M

의 접선 공간의 최대 부분 공간의 차원이다.

M^a

의 위상은

a

가 임계점의 높이를 지날 때를 제외하고는 변하지 않는다. 이 시점에서

\gamma

-셀이

M^a

에 부착되며, 여기서

\gamma

는 점의 지수이다.

모스 이론을 적용하기 위해서는 임계점이 비퇴화 상태여야 한다. 예를 들어

f(x) = x^3

인 경우, 0은 임계점이지만

M^a

의 위상은 변하지 않는다. 이는 헤세 행렬이 0이 되어 임계점이 퇴화하기 때문이다. 이러한 퇴화 임계점은

f(x) = x^3 + \epsilon x

와 같이 약간의 섭동을 통해 제거할 수 있다.^[1]

3. 1. 산악 지형의 예시

산악 지형의 표면을 다양체

M

으로 생각하고, 각 점의 고도를 나타내는 함수

f: M \to \mathbb{R}

를 생각하자. 이 함수

f

는 모스 함수의 예시이다.

f

의 역상은 등고선이 된다. 등고선은 점, 단순 폐곡선, 또는 이중점을 가진 폐곡선 중 하나이다. 등고선의 이중점은 안장점에서 발생한다.

이 지형에 물을 채운다고 상상해 보자. 물이 고도

a

에 도달하면 수중 표면은

M^a = f^{-1}(-\infty, a]

가 되며, 이는 고도가

a

이하인 점들의 집합이다. 물이 상승하면서

a

가

f

의 임계점의 높이를 지날 때

M^a

의 위상이 변한다. 즉, 물이 (1) 분지(극소점)를 채우기 시작하거나, (2) 안장점(고개)을 덮거나, (3) 봉우리(극대점)를 잠수하는 경우에 위상이 변한다.

임계점의 종류에 따라 지수(index)라는 숫자를 부여할 수 있다. 지수는

f

가 감소하는 독립 방향의 수이다. 헤세 행렬을 이용하여 정의하면, 비퇴화 임계점

p

의 지수는 헤세 행렬이 음의 정부호인

p

에서

M

의 접선 공간의 최대 부분 공간의 차원이다. 극소점, 안장점, 극대점의 지수는 각각 0, 1, 2이다.

원환면을 예로 들어보자. 원환면의 바닥에서 시작하여 위로 올라가면서, 극소점(

p

), 안장점(

q, r

), 극대점(

s

) 순서로 임계점을 만난다. 물의 높이

a

가 상승함에 따라

M^a

의 위상은 다음과 같이 변한다.

$a < f(p)$ 이면, $M^a$ 는 공집합이다.
$0 < a < f(q)$ 이면, $M^a$ 는 원반과 호모토피 동치이다.
$f(q) < a < f(r)$ 이면, $M^a$ 는 원통과 호모토피 동치이다.
$f(r) < a < f(s)$ 이면, $M^a$ 는 원반이 제거된 원환면과 호모토피 동치이다.
$a > f(s)$ 이면, $M^a$ 는 원환면 전체이다.

이 예시는

M^a

의 위상이 임계점의 높이를 지날 때마다 변하며, 이 때 해당 임계점의 지수에 해당하는 셀이

M^a

에 부착됨을 보여준다.

임계점이 비퇴화 상태여야 모스 이론을 적용할 수 있다. 예를 들어,

f(x) = x^3

인 경우, 0은 임계점이지만

M^a

의 위상은 변하지 않는다. 이는 헤세 행렬이 0이 되어 임계점이 퇴화하기 때문이다. 이러한 퇴화 임계점은

f(x) = x^3 + \epsilon x

와 같이 약간의 섭동을 통해 제거할 수 있다.

3. 2. 원환면의 예시

3차원 유클리드 공간에 원환면(

\mathbb T^2

)을 놓고 높이 함수를 생각하면, 이 함수는 모스 함수가 된다.

이때 4개의 임계점이 생기는데, 아래에서부터 차례대로 지표가 0, 1, 1, 2이다. 이는 원환면의 세포 복합체 구조를 정의한다. 우선,

:

\mathbb T^2 = \mathbb S^1 \times \mathbb S^1

이다. 임의의 두 점

t,t' \in \mathbb S^1

을 고르면,

:

e_0 = \{(t,t')\}

:

e_1 = \{t\}\times (\mathbb S^1 \setminus \{t'\})

:

e_1' = (\mathbb S^1 \setminus \{t\}) \times \{t'\}

:

e_2 = \mathbb S^1 \setminus\{t\} \times \mathbb S^1 \setminus \{t'\}

는 원환면의 세포 복합체를 정의하며, 이는 위의 모스 함수를 통해 얻은 것과 같다.

반대로, 2차원 원환면을 3차원 유클리드 공간에서 xy 평면에 회전 대칭이 되도록 놓으면, z축 방향 높이는 모스 함수는 아니지만 모스-보트 함수가 된다. 이때 두 개의 임계 부분 다양체

C_\pm

가 생긴다.

$C_-$ 는 "남극"에 있는 원이며, 모스-보트 지표는 0이다.
$C_+$ 는 "북극"에 있는 원이며, 모스-보트 지표는 1이다.

원의 푸앵카레 대항식은

:

\operatorname P_{\mathbb S^1}(t) = 1 + t

이므로, 이 모스-보트 함수의 모스-보트 다항식은

:

\operatorname{MB}_f(t) = (1+t) + (1+t)t = (1+t)^2

이다. 원환면의 푸앵카레 다항식은

:

\operatorname P_{\mathbb T^2}(t) = (\operatorname P_{\mathbb S^1}(t))^2 =  (1 + t)^2

이므로, 이 경우 모스-보트 부등식이 성립한다.

그림과 같이 방향이 있는 원환면을

M

이라 하고,

f

를 각 점을 평면 위 높이로 나타내는 함수라고 하자. 물의 높이

a

가 올라갈 때, 물에 잠긴 표면

M^a

의 위상이 어떻게 변하는지 살펴보자.

원환면 바닥에서 시작하여,

p, q, r,

및

s

를 분지, 두 개의 안장, 봉우리에 해당하는 지수

0, 1, 1,

및

2

의 네 개의 임계점이라고 하자.

a

가

f(p) = 0

보다 작으면,

M^a

는 빈 공간이다.

a

가

p

의 높이를 지나면,

0 < a < f(q)

일 때,

M^a

는 원반이며, 빈 공간에 "부착"된 점(0-셀)에 호모토피 동치이다. 다음으로,

a

가

q

의 높이를 넘고

f(q) < a < f(r)

일 때,

M^a

는 원통이며, 1-셀이 부착된 원반에 호모토피 동치이다.

a

가

r

의 높이를 지나고,

f(r) < a < f(s)

일 때,

M^a

는 원반이 제거된 원환면이며, 1-셀이 부착된 원통에 호모토피 동치이다. 마지막으로,

a

가

s

의 임계 높이보다 크면,

M^a

는 원환면, 즉 원반(2-셀)이 제거되고 다시 부착된 원환면이다.

4. 성질

모스 이론은 다양체의 위상수학적 성질을 연구하는 데 유용한 도구이다. 모스 함수는 다양체 위에 정의된 특별한 함수로, 이 함수의 임계점(기울기가 0인 점)을 분석하여 다양체의 구조를 파악할 수 있다.

모스 함수는 다음과 같은 중요한 성질들을 가진다.

존재성: 다양체 위에 모스 함수는 항상 존재한다. 좀 더 정확하게는, 임의의 매끄러운 함수에 아주 작은 변화를 주어 모스 함수로 만들 수 있다. 이는 "전형적인 함수는 모스 함수이다"라고 표현되기도 한다.^[5]
모스 부등식: 모스 함수의 임계점 개수와 다양체의 베티 수 사이에는 특별한 관계가 있다. $C^{\gamma}$ 를 지수 $\gamma$ 인 임계점의 개수, $b_\gamma(M)$ 를 $M$ 의 $\gamma$ 번째 베티 수라고 하면, 다음 부등식이 항상 성립한다.

:

C^\gamma -C^{\gamma -1} \pm \cdots + (-1)^\gamma C^0 \geq b_\gamma(M)-b_{\gamma-1}(M) \pm \cdots + (-1)^\gamma b_0(M).

특히, 모든

\gamma \in \{0, \ldots, n = \dim M\}

에 대해,

:

C^\gamma \geq b_\gamma(M).

이 부등식은 다양체의 위상수학적 구조에 대한 제약을 나타낸다. 예를 들어, 임계점의 개수가 적으면 베티 수도 작아야 한다.

CW 복합체 구조: 모스 함수는 다양체를 CW 복합체로 분해하는 방법을 제공한다. 각 임계점은 CW 복합체의 세포(cell)에 대응되며, 임계점의 지수는 세포의 차원을 결정한다.

예를 들어, 산악 지형을 나타내는 다양체를 생각해 보자. 각 점의 높이를 나타내는 함수를 정의하면, 이 함수는 모스 함수가 될 수 있다. 이때, 웅덩이는 지수가 0인 임계점, 고개는 지수가 1인 임계점(안장점, 오른쪽 그림의 붉은 점), 산꼭대기는 지수가 2인 임계점에 해당한다.

원환면(오른쪽 그림)의 경우, 높이 함수를 생각하면 4개의 임계점을 얻을 수 있다. 이 임계점들을 분석하면 원환면의 위상수학적 성질을 파악할 수 있다.

4. 1. 모스 함수의 조밀성

다양체 M 위의 매끄러운 실숫값 함수가 퇴화된 임계점을 갖지 않을 때, 이 함수를 '''모스 함수'''(Morse function)라고 한다. 모스 이론의 기본적인 결과에 따르면, 거의 모든 함수는 모스 함수이다. 좀 더 엄밀하게 말하면, 모스 함수의 집합은 C² 위상에서 모든 매끄러운 함수 M → '''R''' 집합의 조밀한 열린 부분 집합을 이룬다. 이는 "전형적인 함수는 모스 함수이다" 또는 "일반적인 함수는 모스 함수이다"라고 표현되기도 한다.^[5] 즉, 임의의 매끄러운 함수에 대해 아주 작은 섭동을 가하여 모스 함수를 얻을 수 있다.

4. 2. 모스 세포 구조

콤팩트 매끄러운 다양체

M

위의 모스 함수

f

가 주어졌을 때, 각

a\in\mathbb R

에 대하여 부분 공간

M^a=f^{-1}(-\infty,a] \subseteq M

을 정의할 수 있다. 이는 경계다양체를 이룬다.

임의의

a,b\in\mathbb R

,

a 에 대하여, 다음이 성립한다.

$f^{-1}[a,b]\subseteq M$ 이 $f$ 의 임계점을 포함하지 않는다면, $M^a$ 와 $M^b$ 는 서로 미분 동형이다.
$f^{-1}(a,b)$ 이 $f$ 의 임계점 가운데 하나 $x\in M$ 를 포함하며, $f^{-1}[a,b]$ 가 $x$ 이외의 다른 임계점을 포함하지 않는다면, $M^b$ 는 $M^a$ 에 $\gamma(x)$ 차 세포를 추가한 공간과 호모토피 동치이다.

따라서, 만약 서로 다른 두 임계점에 대하여

f

의 값이 항상 서로 다르다면, 모스 함수

f

는 다양체

M

와 호모토피 동치인 세포 복합체를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가

k

인 특이점은

k

차 세포에 대응된다. 또한, 모든 매끄러운 다양체에 대하여 이와 같은 꼴의 모스 함수를 찾을 수 있음을 보일 수 있다.

모스 이론	세포 복합체
모스 함수의 임계점	세포
모스 함수의 임계점의 모스 지표	세포의 차수
$M^a$ ( $a$ 는 임계값이 아님)	$f(x) < a$ 인 임계점들 $x\in M$ 에 대응하는 세포들로 구성된 뼈대

4. 3. 모스 부등식

매끄러운 다양체

M

위의 모스 함수

f

가 주어졌을 때,

k

차 임계점의 개수는

k

차 베티 수의 상계를 이룬다. 즉, 다음 부등식이 성립한다.

:

|\{x\in \operatorname{Crit}(f)\colon \gamma(x) = k\}| \ge \dim_{\mathbb Q}\operatorname H_k(M;\mathbb Q)

여기서

\operatorname{Crit}(f)

는

f

의 임계점들의 집합이고,

\gamma(x)

는 임계점

x

의 지표이다.

모스-보트 함수의 경우, 모스-보트 다항식을 다음과 같이 정의한다.^[16]

:

\operatorname{MB}_f(t) = \sum_i \operatorname P_{\Sigma_i}(t) t^{\gamma(\Sigma_i)}

여기서

\Sigma_i

는

f

의 임계 부분 다양체이고,

\operatorname P_{\Sigma_i}(t)

는

\Sigma_i

의 푸앵카레 다항식,

\gamma(\Sigma_i)

는

\Sigma_i

의 지표이다.

M

이 콤팩트 가향 다양체이고, 각

\Sigma_i

또한 모두 가향 다양체라고 가정하면, 모스-보트 부등식은 다음과 같다.^[16]

:

\operatorname{MB}_f(t) = \operatorname P_M(t) + (1+t) R(t)

여기서

R(t)

는 자연수(음이 아닌 정수) 계수를 가지는 다항식이고,

\operatorname P_M(t)

는

M

의 푸앵카레 다항식이다.

특히,

t=-1

일 경우, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{MB}_f(-1) = \operatorname P_M(-1) = \chi(M)

여기서

\chi(M)

은 오일러 지표이다.

모스 부등식은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

C^\gamma -C^{\gamma -1} \pm \cdots + (-1)^\gamma C^0 \geq b_\gamma(M)-b_{\gamma-1}(M) \pm \cdots + (-1)^\gamma b_0(M).

여기서

C^{\gamma}

는 지수

\gamma

인 임계점의 개수이고,

b_\gamma(M)

는

M

의

\gamma

번째 베티 수이다.

특히, 모든

\gamma \in \{0, \ldots, n = \dim M\}

에 대해,

:

C^\gamma \geq b_\gamma(M).

이 성립한다.

5. 기본 정리

모스 이론의 기본 정리는 다양체 M 위의 모스 함수 f와 관련된 M^a = f⁻¹(−∞, a]의 위상 변화를 설명한다. 여기서 a는 실숫값이다.

예를 들어 산악 지형 M을 생각하면, f는 각 점의 높이를 나타내는 함수이다. f⁻¹(−∞, a]는 높이가 a 이하인 지형 영역이 된다. 수위를 a라고 할 때, a가 임계점을 넘지 않는 한 물에 잠긴 영역의 연결 방식은 변하지 않는다. 임계점은 f의 기울기가 0이 되는 점(f의 야코비 행렬이 최대 랭크를 갖지 않는 점)으로, 웅덩이, 고개, 산꼭대기(극소점, 안장점, 극대점) 등이 있다. 임계점의 지수는 그 점 주변에서 f가 감소하는 독립적인 방향의 수이다. 2차원 지형의 경우 극소점, 안장점, 극대점의 지수는 각각 0, 1, 2이다.

원환면을 예로 들면, 원환면 바닥부터 지수가 0, 1, 1, 2인 임계점 p, q, r, s가 있다. a가 p의 높이를 지나면 M^a는 원반이 되고, a가 q를 지나면 1-셀이 붙은 원반(원통)이 되며, r을 지나면 1-셀이 붙은 원통(원반이 뚫린 원환면)이 된다. 마지막으로 s를 지나면 원환면이 된다. 즉, M^a의 위상은 a가 임계점의 높이를 지날 때 변하며, 이때 지수 γ의 임계점을 지나면 γ-셀이 붙는다.

단, 임계점은 비퇴화적이어야 한다. 비퇴화 임계점이란, 임계점에서의 f의 헤세 행렬이 0이 아닌 경우를 말한다. 퇴화 임계점은 약간의 섭동으로 제거하거나 비퇴화 임계점으로 분리할 수 있다.

다양체 M 위의 매끄러운 실숫값 함수가 퇴화 임계점을 갖지 않으면 모스 함수라고 한다. 거의 모든 함수는 모스 함수이며, 이는 "전형적인 함수는 모스 함수이다"라고 표현되기도 한다.^[5]

임의의 미분 가능 다양체는 지수 n의 임계점에 대해 n-셀을 갖는 CW 복합체임을 보일 수 있다.

5. 1. 정리 1 (임계값 부재)

f

가

M

위의 매끄러운 실수값 함수이고,

a < b

이며,

f^{-1}[a, b]

가 콤팩트하고,

a

와

b

사이에 임계값이 없다고 가정하면,

M^a

는

M^b

와 미분 동형이고,

M^b

는

M^a

로 변형 수축한다.^[5]

이 정리는

a

가 임계점을 지날 때

M^a

의 위상이 어떻게 변화하는지 알기 위해 흥미를 유발한다.

5. 2. 정리 2 (임계점 통과)

f

가

M

위의 매끄러운 실수값 함수이고,

p

가 지수

\gamma

인

f

의 비퇴화 임계점이며,

f(p) = q

라고 가정한다.

f^{-1}[q - \varepsilon, q + \varepsilon]

가 콤팩트하고

p

외에 임계점을 포함하지 않는다고 가정하면,

M^{q + \varepsilon}

는

\gamma

-셀을 덧붙인

M^{q - \varepsilon}

에 호모토피 동치이다.^[5]

5. 3. 모스 보조정리

p

가

f : M \to \mathbb{R}

의 비퇴화 임계점이라고 하면,

p

의 근방 좌표계

(x_1, x_2, \ldots, x_n)

이

p

의 근방

U

에 존재하여 모든

i

에 대해

x_i(p) = 0

이고, 다음이 성립한다.

:

f(x) = f(p) - x_1^2 - \cdots - x_{\gamma}^2 + x_{\gamma+1}^2 + \cdots + x_n^2

:

U

전체에서. 여기서

\gamma

는

p

에서의

f

의 지수와 같다. 모스 보조정리의 따름정리로서, 비퇴화 임계점은 고립점임을 알 수 있다. (복소 영역으로의 확장에 대해서는 복소 모스 보조정리를 참고하라. 일반화에 대해서는 모스-팔레 보조정리를 참고하라.)

6. 응용

모스 이론은 여러 분야에 응용된다. 예를 들어, 산악 지형 표면과 같은 다양체 $M$ 을 생각하고, 각 점의 고도를 나타내는 함수 $f: M \to \mathbb{R}$ 를 정의할 수 있다. 이때 특정 고도 $a$ 에서의 등고선은 $f^{-1}(-\infty, a]$ 로 표현되는 수중 표면 $M^a$ 와 같다. 물이 차오르면서 $M^a$ 의 위상은 $f$ 의 임계점(분지, 고개, 봉우리)을 지날 때마다 변한다. 각 임계점에는 지수가 부여되는데, 이는 함수 $f$ 가 해당 점에서 감소하는 독립적인 방향의 개수를 의미한다.

원환면을 예로 들어보자. 원환면 바닥에서 물이 차오르면, 분지(지수 0), 안장점(지수 1), 봉우리(지수 2) 순서로 임계점을 지나면서 위상이 변한다. 이때 각 임계점을 지날 때마다 해당 지수의 셀이 $M^a$ 에 부착되는 것으로 이해할 수 있다.

임계점이 비퇴화 상태여야 한다는 점이 중요하다. 예를 들어 $f(x) = x^3$ 의 경우, 0은 임계점이지만 위상 변화가 없다. 이는 헤세 행렬이 0이 되어 임계점이 퇴화하기 때문이다. 이러한 문제는 함수를 약간 변형하여 해결할 수 있다.

모스 이론은 닫힌 2차원 다양체의 분류와 모스 호몰로지 등과 같은 다른 분야에서 활용된다.^[7]

6. 1. 닫힌 2차원 다양체의 분류

모스 이론은 미분 동위상까지 닫힌 2차원 다양체를 분류하는 데 사용되어 왔다. M^영어이 방향성을 가지는 경우, M^영어은 종수 g^영어에 의해 분류되며, g^영어개의 손잡이가 있는 구와 미분 동위상이다. 따라서 g^영어 = 0인 경우, M^영어은 2차원 구와 미분 동위상이고, g^영어 > 0인 경우, M^영어은 g^영어개의 2차원 토러스의 연결합과 미분 동위상이다. N^영어이 비방향성을 가지는 경우, g^영어 > 0이라는 숫자에 의해 분류되며, g^영어개의 실사영 공간 RP|2^영어의 연결합과 미분 동위상이다. 특히 두 개의 닫힌 2차원 다양체는 위상 동형일 필요충분조건은 미분 동형인 것이다.

6. 2. 모스 호몰로지

모스 호몰로지는 매끄러운 다양체의 호몰로지를 이해하기에 특히 쉬운 방법이다. 모스 함수와 리만 계량을 일반적으로 선택하여 정의된다. 기본 정리는 결과로 얻은 호몰로지가 다양체의 불변량(즉, 함수와 계량에 의존하지 않음)이며, 다양체의 특이 호몰로지와 동형이라는 것이다. 이는 모스 수와 특이 베티 수가 일치함을 의미하며, 모스 부등식의 즉각적인 증명을 제공한다. 심플렉틱 기하학에서 모스 호몰로지의 무한 차원 유사체는 플로어 호몰로지로 알려져 있다.^[7]

7. 역사와 어원

모스 이론은 아서 케일리와 제임스 클러크 맥스웰의 초기 연구를 바탕으로, 마스턴 모스가 변분법 연구를 통해 1934년에 도입하였다.^[19] 이후 스티븐 스메일, 라울 보트, 에드워드 위튼 등이 모스 이론 발전에 공헌하였다.

7. 1. 초기 연구 (케일리, 맥스웰)

마스턴 모스 이전에 이미 아서 케일리^[17]와 제임스 클러크 맥스웰^[18]이 측량학과 관련하여 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다.

7. 2. 마스턴 모스

마스턴 모스는 변분법을 연구하던 중 1934년에 모스 이론을 도입하였다.^[19] 이후 모스는 평생 동안 모스 이론 연구에 매진하였다.

7. 3. 이후 발전 (스메일, 보트, 위튼)

스티븐 스메일, 라울 보트, 에드워드 위튼 등이 모스 이론에 공헌하였다.

8. 모스-보트 이론

모스-보트 함수는 모스 함수의 개념을 일반화한 것이다. 모스 함수에서는 임계점이 고립된 점이어야 하지만, 모스-보트 함수에서는 임계점의 집합이 닫힌 부분 다양체를 이루는 것을 허용한다. 이때 헤세 행렬은 법선 방향으로 비퇴화여야 한다. 임계 지수는 쌍 $(i_-, i_+)$으로 나타내는데, $i_-$는 불안정 다양체의 차원이고, $i_+$는 $i_-$에 임계 다양체의 차원을 더한 값이다. 라울 보트는 보트 주기성 정리를 증명할 때 모스-보트 이론을 사용했다. 원 함수는 모스-보트 함수의 한 예이며, 이 경우 임계 집합은 원들의 분리된 합집합이 된다.

8. 1. 모스-보트 함수의 정의

Morse–Bott function|모스-보트 함수^영어는 임계 집합이 닫힌 부분다양체이고, 헤세 행렬이 법선 방향으로 비퇴화인 다양체 위의 매끄러운 함수이다.^[5] (동등하게, 임계점에서 헤시안의 커널은 임계 부분다양체에 대한 접선 공간과 같다.) 모스 함수는 임계 다양체가 0차원인 특수한 경우이다(따라서 임계점에서 헤시안은 모든 방향으로 비퇴화, 즉 커널이 없다).

지수는 쌍

:

(i_-, i_+),

으로 가장 자연스럽게 생각할 수 있다. 여기서

i_-

는 주어진 임계 다양체의 점에서 불안정 다양체의 차원이고,

i_+

는

i_-

에 임계 다양체의 차원을 더한 값과 같다. 모스-보트 함수가 임계 위치에서 작은 함수로 섭동되면, 섭동된 함수의 임계점의 지수는 섭동되지 않은 함수의 임계 다양체에서

i_-

와

i_+

사이에 놓이게 된다.

모스-보트 함수는 일반적인 모스 함수보다 다루기 쉽다. 왜냐하면 쉽게 시각화할 수 있고, 계산하기 쉬우며, 전형적으로 대칭성을 갖기 때문이다. 또한 종종 양의 차원을 갖는 임계 다양체를 이끌어낸다. 라울 보트는 보트 주기성 정리의 원래 증명에서 모스-보트 이론을 사용했다.

원 함수는 모스-보트 함수의 예시이며, 임계 집합은 (원들의) 분리된 합집합이다.

모스 호몰로지는 모스-보트 함수에 대해서도 공식화될 수 있다. 모스-보트 호몰로지에서의 미분은 스펙트럼 열에 의해 계산된다. 프레데릭 부르주아는 심플렉틱 장론의 모스-보트 버전에 대한 연구 과정에서 이 접근법을 스케치했지만, 상당한 해석적 어려움으로 인해 이 연구는 출판되지 않았다.

8. 2. 모스-보트 호몰로지

모스-보트 함수는 임계점의 집합이 닫힌 다양체를 이루고, 법선 방향으로 헤세 행렬이 비퇴화인 매끄러운 함수를 말한다. 이는 임계점이 0차원인 다양체인 모스 함수의 개념을 일반화한 것이다.

임계 지수는 쌍

(i_-, i_+)

으로 나타낼 수 있다. 여기서

i_-

는 임계 다양체의 한 점에서 불안정한 다양체의 차원을 나타내고,

i_+

는

i_-

에 임계 다양체의 차원을 더한 값이다.

모스-보트 함수에 대한 모스 호몰로지의 미분은 스펙트럼 열을 통해 계산할 수 있다.^[5] 라울 보트는 보트 주기성 정리 증명에 모스-보트 이론을 활용했다. 프레데릭 부르주아(Frederic Bourgeois)는 심플렉틱 기하학의 심플렉틱 장 이론에 모스-보트 버전을 적용하려 했으나, 해석상의 어려움으로 공개되지 않았다.

참조

_[1] 저널 Supersymmetry and Morse theory
_[2] 서적 Elliptic Operators, Topology and Asymptotic Method Longman
_[3] 서적 Differential Topology: an Introduction https://archive.org/[...] Marcel Dekker
_[4] 서적 Elements of Differential Topology https://books.google[...] CRC Press
_[5] 문서 「ジェネリック」なということの意味は、「ほとんどすべての」という意味である。
_[6] 문서 "{{harvnb | Witten | 1982 }}、{{harvnb | Roe | 1998 }}"
_[7] 웹사이트 Witten’s Proof of Morse Inequalities http://faculty.tcu.e[...] Igor Prokhorenkov
_[8] 서적 An Introduction to Morse Theory http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 2002
_[9] 서적 An Invitation to Morse Theory Springer 2011
_[10] 저널 Lectures on Morse theory, old and new 1982-09
_[11] 저널 Morse theory indomitable 1988
_[12] 저널 Commentary on “Lectures on Morse theory, old and new” 2011
_[13] 서적 Lectures on Morse Homology Kluwer 2004
_[14] 서적 Morse Homology Birkhäuser 1993
_[15] 저널 Morse theory in the 1990’s 2001
_[16] 저널 Three approaches to Morse–Bott homology 2012
_[17] 저널 On Contour and Slope Lines 1859
_[18] 저널 On hills and dales 1870
_[19] 서적 The Calculus of Variations in the Large 1934

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